geometrie - Romania, the meaningless part. Simple possibilities: It is possible that employees of DRPCIV (Car Permits and Registrations, Romania), together with employees of the Romanian Car Registry, have knowingly registered a large number of stolen vehicles. It is possible that the vehicles in point 1 have had their color changed before being sold.

Mari matematicieni ai lumii – 6

Abu Kamil (850 – 930)

Simina Harmonie

Mai cunoscut sub numele Al Misri, a fost un matematician născut în Egipt, şi care a trăit aproximativ între anii 850-930. Nu se cunosc amănunte legate de viaţa sa dar, în jurul anului 988 un librar pe nume Ibn Nadim a realizat o lucrare, numită Fihrist (în arabă – index) o imagine cât de cât completă a ştiinţei şi literaturii arabe de până atunci. Lucrarea conţine informaţii despre opera lui Abu Kamil. Sunt enunţate cele nouă cărţi scrise de acesta. Trei dinte ele au supravieţuit vremurilor: Algebra, Topografie şi geometrie, Arta calculului, iar celelalte doar prin traduceri în latină şi ebraică.

Pentru perioada de dinainte de Al Khwarizmi nu există informaţii despre matematica în ţările arabe, dar cercetările istoricilor matematicii au stabilit cu certitudine că Abu Kamil a fost succesorul imediat al înţeleptului, „inventatorul algebrei”. Lucrările sale au fost o verigă importantă între cele ale lui Al Khwarizmi şi Al Karaji. Se ştie că lucrările sale l-au influenţat în mod deosebit pe Fibonacci[1], cel care a contribuit decisiv la răspândirea cunoştinţelor matematice arabe în Europa. Dacă Abu Kamil nu ar fi studiat lucrările lui Al Khwarizmi, s-ar fi pierdut o foarte importantă pagină din istoria matematicii şi ar fi fost influenţată altfel dezvoltarea ulterioară a acesteia.

În cărţile sale s-a preocupat de rezolvarea ecuaţiilor algebrice – în special a celei de forma

căutând evident doar soluţiile pozitive, de aplicarea algebrei în calcului elementelor pentagonului şi a decagonului regulat, de ecuaţiile diofantice.

Deosebită era capacitatea sa de a lucra cu puteri mari şi cu numere pe care astăzi le numim iraţionale. Asta i-a adus supranumele de calculatorul Egiptului. Bineînţeles aceste puteri nu sunt scrise în simboluri, ca astăzi, ci în cuvinte: pentru x² el spunea pătrat, pentru x⁵– pătrat, rădăcină, pătrat, pentru x⁶ – cub, cub, pentru x⁸– pătrat, pătrat, pătrat, pătrat. Oricum, el este primul care a folosit

fără însă a o scrie explicit. La fel pentru relaţiile

folosea: „rădăcina pătrată a lui 18 plus rădăcina pătrată a lui 8 este cât rădăcina pătrată a lui 18 adunată cu opt adunat cu de două ori rădăcina lui 144”. Ce putere de concentrare trebuie să fi avut matematicianul având în vedere că a fost destul de prolific!

A propus 69 de probleme concrete de algebră, şi se pare că 40 dintre ele au fost puse chiar de Al Khwarizmi.

Concret, el a scris despre rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare cu soluţii numere întrgi şi fracţionare, despre ceea ce numim astăzi numere iraţionale – căutând soluţii cât mai apropiate de valoarea exactă, despre inegalităţi – ceea ce este o noutate în matematica vremii. În ceea ce priveşte ecuaţiile diofantice, o preocupare majoră a fost studierea cazurilor ecuaţiilor cu soluţii nedeterminate.

Pentru ecuaţii de grad mai mare, ca de exemplu pentru ecuaţia

el foloseşte construcţia unui pentagon regulat, ajungând, cum e şi firesc la numărul de aur.

În timp ce lucrările de algebră erau destinate studiului general al matematicii, studiile geometrice erau rezervată mai degrabă tehnicienilor agricoli ai guvernului, cărora le indica modul de calcul al ariilor suprafeţelor lucrate, perimetrele acestora – explicând concret cazurile triunghiurilor, a dreptunghiurilor, calculul volumelor diferitelor solide (paralelipipedul dreptunghic, piramida patrulateră regulată, prisma dreaptă, conurile). Una dintre preocupări a fost calculul ariei segmentului de cerc, precum şi calculul laturilor şi ariei poligoanelor regulate cu 3,4,5,6,8 şi 10 laturi înscrise şi exînscrise cercului de rază dată. El foloseşte o aproximare foarte bună pentru raportul dintre perimetrul cercului şi diametrul său, adică π, şi anume 22/7.

Spuneam că pentru anumite ecuaţii găsirea soluţiilor a necesitat construcţii geometrice.

Iată una dintre cele mai frumoase probleme: Să se găsească soluţia sistemului:

ştiind că x, y şi z, sunt numere pozitive.

Prima ecuaţie spune că necunoscutele pot fi laturile unui triunghi dreptunghic, z fiind ipotenuza.

Fie α unul dintre unghiurile ascuţite. Atunci

şi înlocuind în sistem ajungem la rezolvarea ecuaţiei

care are soluţia pozitivă

(conjugatul acestui număr sau inversul său fiind numărul de aur, obţinut dintr-o ecuaţie asemănătoare). Din formula fundamentală

se găseşte

iar din ultima ecuatie avem

si deci

Aceasta este o rezolvare cu ajutorul metodelor actuale. Abu Kamil ştia doar că soluţiile trebuie să fie ceva mai mari decât 2 , 3, şi respectiv 4.

Pentru multe proble de acest gen „calculatorul Egiptului” a găsit soluţii care au uimit pe cunoscătorii din acele timpuri care şi-au manifestat suspiciunea şi aroganţa faţă de acest qvasi- necunoscut. Acest fapt l-a determinat să scrie cărţi despre acest tip de calcule, recunoscând totodată că multe dintre probleme au derivat, sau chiar sunt, ale lui Al Khwarizmi.

[1] Leonardo Fibonacci, matematician italian (1175-1240), este autorul căţii intitulate Liber Abaci (carte de calcul) prin intermediul cărora a fost introdus în Europa sistemul zecimal propus de arabi, al celebrului şir al lui Fibonacci, dat de recurenţa

care conduce la nu mai puţin celebrul număr de aur ca fiind

care la rândul său provine din, la fel de celebra, secţiune de aur.

Sursa: simina-harmonie.blogspot.ro

Source Link

Mari matematicieni ai lumii – 3

Mari matematicieni ai lumii – 3

Thâbit ibn Qurrah (836-901)

Pe numele sau întreg Al – Sabi Thabit ibn Qurra al- Harrani a fost un celebru învăţat al vremurilor Islamului de Aur, născut în Harran (Turcia de astăzi), provenind dintr-o familie membră a unei secte, aşa numită a sabienilor – de unde şi particula Al – Sabi din numele său, membrii acesteia fiind „închinători” la stele. Aceasta şi explică de ce membrii acestei secte care adorau stelele aveau motivaţia studierii acestora precum şi a fenomenelor astronomice. În plus erau buni vorbitori de limbă greacă. Thabit provenea dintr-o familie de vază şi în acelaşi timp bogată a comunităţii şi a primit o educaţie aleasă. Un Mecena al timpului, Muhhamad ibn Musa ibn Shakir, vizitând Harranul a aflat despre uluitoarele cunoştinţe de limbă greacă ale tânărului Thâbit, şi remarcând-u-i şi abilităţile de raţionament l-a invitat la Bagdad pentru a studia matematica. Aici el a dobândit vaste cunoştinţe de matematică dar şi de medicină (mai toţi înţelepţii acelei vremi erau medici deosebiţi) şi astronomie.

Aşa de exemplu a studiat aritmetica lui Nicomacus, geometria lui Euclid, şi cea a lui Menelaus, dar a rămas celebru în special pentru traducerea operei lui Ptolemeu „Almageste”

Matematica şi-a însuşit-o citind lucrările în limba greacă ale lui Arhimede, Euclid, Appolonius, Ptolemeu, Pitagora. Fără contribuţia arabă aceste opere fundamentale ale ştiinţei s-ar fi pierdut deoarece nu s-au păstrat lucrările originale ci doar traducerile în arabă ale acestora. Deosebit este faptul că lucrările fiind traduse de specialişti nu sunt simple reproduceri ale textelor originale ci sunt adnotate, explicate, exemplificate. Mai mult, el are contribuţii personale extrem de importante. Şi fiul şi nepotul său au fost buni cunoscători ai matematicii însă nu au ajuns la valoarea sa.

Thâbit Ben Q’ra s-a ocupat de studiul conicelor lui Appolonius, sfera lui Eutocius, precum şi alte numeroase lucrări greceşti de astronomie şi geometrie.

Ca astronom el a observat şi studiat un număr de 1022 de stele pentru care a stabilit coordonatele eliptice şi pe care le-a clasificat după magnitudine, constelaţii, etc.

O preocupare meritorie a lui Thâbit a constituit-o studiul numerelor, mai ales a numerelor perfecte şi a numerelor prietene. Numerele perfecte sunt numere egale cu suma divizorilor lor proprii, iar numerele prietene sunt perechi de numere cu proprietatea că unul este egal cu suma divizorilor celuilalt. El a enunţat următoarea afirmaţie: dacă a,b,csunt numere prime de forma

atunci numerele

sunt numere prietene.

Aşa este cazul numerelor 220 şi 284. Mulţimea divizorilor lui 220 este

(excludem numărul însuşi) iar cea a lui 284 este

Avem că:

Se vede însă că aceste condiţii sunt suficiente dar nu şi necesare. Aşa de exemplu numerele 1184 şi 1210, sunt numere prietene căci:

dar nu se respectă cerinţa formei numerelor.

Iată şi alte perechi de numere prietene:

Numerele de forma

se numesc „numere Thâbit”.

Calculatoarele din zilele noastre au enumerat o sumedenie de astfel de numere obţinute pentru

Pentru valorile lui n din această mulţime numerele a scrise în baza 2, au o formă particulară deosebită verificată pentru enorm de multe numere.

O altă procupare a lui Thâbit ibn Qurra, geometria plană, l-a determinat să găsească noi demonstraţii pentru teorema lui Pitagora.

Iată una dintre acestea. Se construiesc pe laturile triunghiului dreptunghic ABC, pătratele AHMC, AGEB, BCLD (de aceeaşi parte a lui BC. Notăm cu F intersecţia prelungirilor laturilor HM şi DL. Este uşor de verificat că triunghiurile următoare sunt egale:

Pe de o parte avem că

iar pe de alta

Le egalăm şi găsim

care este teorema lui Pitagora pentru triunghiul ABC.

Fin cunoscător al geometriei, Thâbit ibn Qurra a găsit o construcţie ingenioasă pentru heptagonul regulat înscris în cerc, ceea ce nu este la îndemâna oricui.

Aţi văzut insigna din pieptul vreunui şerif din filmele western. O insignă originală este un poligon regulat stelat cu şapte vârfuri. Sigur că este acum uşor de construit folosind un raportor (deşi împărţirea la 7 presupune o oarece aproximare). Idealul este să construieşti folosind doar un compas şi o riglă negradată, ceea ce Thâbit ibn Qurra a reuşit.

sursa: simina-harmonie.blogspot.com

Source Link

Mari matematicieni ai lumii – 1

AL KARAJI (953-1029)

Numele său întreg este Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husazn Al- Karaji dar nu se poate presupune cu exactitate că familia lui provine din oraşul Karaj, din Iran – aşa cum ar indica numele, sau din Karkh, o suburbie a Bagdadului, mai ales că era cunoscut şi ca Al Kahri. Oricum, cea mai mare parte a vieţii a trăit în Bagdad, unde a şi scris cea mai importantă lucrare a sa Al-Fakri, dedicată vizirului Fakr-Mulk. Şi-a făcut un scop din a culege şi de a restructura opera înaintaşilor, aşa cum era preocuparea de bază a savanţilor timpului, dar a adus şi contribuţii importante în matematică. A eliberat algebra de operaţiunile geometrice, folosind operaţiile algebrice care stau la baza algebrei de astăzi.

Astfel, el a fost primul care a definit monoamele

şi a dat regula produsului

Fără a specifica numerele negative, şi fără a folosi că

a spus că relaţia era valabilă şi a dat o regulă de găsire a rădăcinii pătrate a multor numere.

Cea mai importantă contribuţie o are însă, prin lucrarea Al kafi fi’l al- Hisab în deducerea coeficienţilor binomial şi la stabilirea relaţiilor între aceştia. Orice număr de pe o coloană este egal cu suma celor doi alăturaţi de pe coloana precedentă (aşa cum cunoaştem din actualul „triunghi al lui Pascal”).

Mai mult, el a stabilit, în limbajul de astăzi, că suma primelor numere naturale este

a calculat suma pătratelor primelor numere naturale ca fiind

precum şi suma cuburilor

Pornind de la observaţia că

care mai este şi

de fapt el a stabilit forma incipientă a principiului inducţiei matematice.

Formula din figura următoare reprezintă această formulă (atenţie: se citeşte de la dreapta spre stânga, precum în orice text arab), şi sunt folosite cifrele arabe[1].

Mai mult, Al Karaji foloseşte construcţii geometrice pentru a demonstra formulele sumelor. Aşa de exemplu pentru a demonstra că:

el exemplică prin exprimarea lui

astfel:

Suma ariilor pătratelor de laturi 1, 2, 3 şi 4 este egală cu aria pătratului mare din figură este mai puţin de câte două ori ariile dreptunghiurilor de laturi 1şi respectiv 2, 3 şi 4, apoi cele cu laturile 2 şi respectiv 3, şi 4 şi cele cu laturile 3 şi 4.

A fost influenţat de lucrările lui Diofant (sec III î.Hr.) recunoscând că mai toate problemele din cartea acestuia se găsesc în cartea sa, Al Badi fi’l-hisab, dar a inclus şi multe probleme originale. De altfel Al-Karaji era supranumit „calculatorul” pentru uşurinţa cu care opera cu multe operaţii şi numere mari.

Se pare că în partea a doua a vieţii sale, Al Karaji a părăsit Bagdadul şi s-a retras în „ţara munţilor” – regiunea muntoasă a ţării, unde s-a dedicat ingineriei. Este celebru prin teoriile despre forări, aprovizionare cu apă a localităţilor, metode de irigaţie.

Popularea rapidă a oraşelor Bagdad, Cairo, Cordoba, Féz, tocmai făcuse necesară găsirea surselor de apă, rafinarea tehnicii de irigare şi optimizarea utilizării apei.

Fiind o problemă incitantă pentru spiritul său inventiv, şi susţinut de şeicul Abu Ghanin Ma’ruf Muhammad, s-a preocupat de această problemă. A scris Inbat-miyah al Khafiya (în traducere – Carte de extracţie a apelor ascunse) în care a descris instrumentele de topografie, metode de construcţie a conductelor, a dat metode de întreţinere şi evitare a colmatării acestora. În afară de faptul că a avut o contribuţie originală în hidrologie, topografie şi studiul apelor subterane, este de remarcat faptul că lucrări construite după indicaţiile sale, în acea perioadă, au rezistat secolelor. În imagine, vestigii ale unei instalaţii de pe râul Guadalquivir, din Cordoba.

fig 17. Cordoba_Guadalquivir_Noria_Wikimedia_Commons

Arabii au devenit faimoşi construcţiilor de acest gen. În Arabia Saudită există şi acum un bazin de apă construit sub patronajul sultanei Zubaidah (soţia lui Harun al Rashid) dedicat musulmanilor care mergeau în pelerinaj la Mecca.

Problemele de aritmetică de genul „intr-un bazin curg trei râuri. Dacă numai primul l-ar umple într-o zi, numai al doilea în două şi numai al treilea în trei, în câte zile l-ar umple curgând toate odată?” au fost pentru prima dată enunţat de Al Karaji.

( bazinul s-ar umple în 12 ore).

Singura deosebire în problemele de clasa a V-a este că nu este vorba despre râuri ci despre robinete.

[1] (Simina Ştefănescu, Numerele şi începuturile matematicii, ed. Psyhelp, Bacău, 2004)

sursa: simina-harmonie.blogspot.ro

Source Link