ecuatie - Romania, the meaningless part. Simple possibilities: It is possible that employees of DRPCIV (Car Permits and Registrations, Romania), together with employees of the Romanian Car Registry, have knowingly registered a large number of stolen vehicles. It is possible that the vehicles in point 1 have had their color changed before being sold.

Mari matematicieni ai lumii

Muhammad ibn Musa Al- Khwarizmi (780 – 850) Muhammad ibn Musa Al- Khwarizmi, sau simplu, Al Khwarizmi, este fără îndoială primul mare matematician arab şi în acelaşi timp şi cel mai cunoscut şi îşi merită cu prisosinţă celebritatea ca „părinte al algebrei”. După nume s-ar părea că el sau strămoşii săi ar fi originari din […]

Muhammad ibn Musa Al- Khwarizmi (780 – 850)

Muhammad ibn Musa Al- Khwarizmi, sau simplu, Al Khwarizmi, este fără îndoială primul mare matematician arab şi în acelaşi timp şi cel mai cunoscut şi îşi merită cu prisosinţă celebritatea ca „părinte al algebrei”. După nume s-ar părea că el sau strămoşii săi ar fi originari din Khwarizm, undeva în sudul mării Aral. În acea regiune la Khiva, Uzbekistan se află o statuie modernă a lui Al – Khwarizmi, lucru în esenţă deosebit, ştiut fiind că în conformitate cu normele Coranului niciunde nu pot apărea picturi sau statui înfăţişând animale sau chipuri de oameni.

A trăit în Bagdad în timpul înfloritoarei dinastii abbaside, şi anume chiar în timpul marelui Harun al Rashid şi al fiului acestuia, Al Mamun. Cum aceştia stăpâneau ţinuturile de la marea Mediterană până în India, Casa înţelepciunii fondată de Al Mamun concentra înţelepţi din toată această lume, biblioteca imensă adunase mii de lucrări pe care le traduceau în şi din arabă, la Observatorul astronomic lucrau savanţi din tot orientul.

Al Khwarizmi a scris aici celebrele sale lucrări, exlusiv în arabă, două dintre ele fiind dedicate suveranului Al Mamun (cea de algebră şi cea de astronomie)

Al Khwarizmi este cel care a introdus în studiile sale o mare parte din cunoştinţele matematice ale Indiei (a studiat lucrările lui Brahmagupta). A fost totodată un bun cunoscător al lucrărilor lui Ptolemeu, în epocă studiindu-seAlmagest, lucrarea de căpătâi a acestuia.

El a scris un tratat, care nu s-a păstrat, dar care este cunoscut prin traducerea sa în latină, în care expune sistemul zecimal indian, metodele de calcul în acest sistem (adunarea, scăderea, înmulţirea), fracţiile, rădăcina pătrată. Pe de o parte el a dat arabilor cunoştinţele indiene, dar se poate spune că a dat occidentalilor cunoştinţele arabe, prin intermediul traducerilor în latină. Acestea nu au apărut decât în secolul al XIII-lea sub titlul semnificativ Dixit Algorezmi (Al Khwarizmi a spus că…) sau în altă traducere De numero indorum, sau Liber Alchoresmi. Acest nou sistem de calcul a fost desemnat de europeni cu numele de algoritm, în onoarea autorului.

A avut preocupări în domeniul opticii şi a scris despre natura luminii. A coordonat şi scrierea unei cărţi de geografie, Kitab –Surat Al- Ard, şi se spune că pentru aceasta a avut în subordinea sa 70 de geografi. Cartea conţine coordonatele a 2402 oraşe. Astăzi se mai păstrează un singur exemplar în arabă la Biblioteca Universităţii din Strasbourg şi unul în latină la Biblioteca Naţională din Madrid.

Al Khwarizmi este celebru şi printr-un tratat asupra ecuaţiei de gradul al II-lea. Acestea erau cunoscute de babilonieni, iar metode de rezolvare a unor cazuri particulare erau date de Euclid, dar Al Khwarizmi a elaborat primul, o clasificare a ecuaţiilor de gradul al II-lea, dovedind o viziune globală asupra problemei. El nu utilizează nici o notaţie literală, folosind pentru necunoscută termenul rădăcină. Rezolvarea se face nu prin calcul algebric, ci prin construcţii geometrice, în stil euclidian. Lucrarea, considerată pe drept cuvânt, cea mai bună carte de algebră a timpului, se intitulează Kitâb al-jabr wa al-muqâbalah şi a fost tradusă în latină sub titlul Algebra. Astfel este justificată originea unuia dintre cele mai importante cuvinte din matematică.

Succesorii săi arabi au studiat de asemenea ecuaţia de gradul al II-lea, ba chiar şi de grad mai mare (vezi Omar Khayyam) fără însă a le generaliza. Abia în timpul renaşterii, Cardan a dat soluţiile ecuaţiei algebrice de gradul al III-lea.

Pentru a-şi susţine calculele Al Khwarizmi a justificat mai întâi câteva formule, care astăzi sunt elementare, dar care în acele vremuri erau chiar şi pentru iniţiaţi adevărate pietre de încercare. El a dat demonstraţiile geometrice ale acestor formule, aşa cum era încetăţenit de la Euclid.

Astfel el a demonstrat că:

Desenele sunt sugestive.

Al Khwarizmi a enunţat regulile algebrice ale rezolvării ecuaţiei de gradul al II-lea având una dintre formele:

adică pătratul rădăcinii este egal cu un număr, pătratul rădăcinii este un multiplu al său, pătratul rădăcinii adunat cu un multiplu al său dau un altnumăr, pătratul rădăcinii este egal cu un multiplu al său plus un număr, şi pătratul rădăcinii adunat cu un număr dau un multiplu al său.

Încă sub influenţa matematicii antice greceşti, arabii nu utilizau numere negative, ceea ce explică diferitele cazuri studiate. Pentru o scădere (adică un termen negativ) Al Khwarizmi a stabilit regulile trecerii termenilor dintr-un membru în altul al ecuaţiei. Nici nu se punea problema unei soluţii negative.

Rezolvarea dată de el semăna cu ceea ce astăzi numim trecerea polinomului de gradul al II-lea la forma canonică:

Evident nu se foloseau fracţiile! Însă totul era explicat mai pe larg cu ajutorul figurilor geometrice. Pătratul mare de latură x+2a/4 este format din patru pătrate de latură a/4, patru dreptunghiuri de laturi x şi a/4 şi un pătrat de latură x.

Aşa de exemplu ecuaţia

se scrie:

Încă odată spunem că nu se punea problema soluţiilor negative.

În acelaşi mod Al Khwarizmi a rezolvat ecuaţiile

Iată cum a făcut rezolvarea ecuaţiei

Se construieşte un pătrat cu latura x, apoi se adaugă acestuia pe laturi în exterior patru dreptunghiuri de laturi x şi respectiv 5/2 şi la final patru pătrate de latură 5/2. În final avem un pătrat cu latura 8, sau,

Mai mult, Al Khwarizmi s-a ocupat de construcţii geometrice, aşa cum rezultă din următoarea problemă: se dă un triunghi cu laturile 10,10,20 şi în interiorul său se înscrie un pătrat astfel încât două din vârfuri să fie pe o bază iar celelalte două pe câte una din celelalte două laturi. Cât este latura pătratului?.

Este uşor de sesizat că triunghiul BED este asemenea cu triunghiul BAM.

Aşa cum se obişnuia în acel timp, din textul paginii de manuscris se vede că explicaţia este dată în cuvinte, nu în relaţii matematice. Aceasta este chiar o dovadă a faptului că Elementele lui Euclid îi erau cunoscute.

Chiar dacă nu are „spiritul” euclidian (nu dă nici o definiţie, nici o axiomă, nici vreo demonstraţie de genul euclidian), originalitatea concepţiei şi profunzimea remarcabilă de care dă dovadă îl fac să bine-merite numele de „părintele algebrei”.

sursa: simina-harmonie.blogspot.com

Source Link

Mari matematicieni ai lumii – 3

Mari matematicieni ai lumii – 3 Thâbit ibn Qurrah (836-901) Pe numele sau întreg Al – Sabi Thabit ibn Qurra al- Harrani a fost un celebru învăţat al vremurilor Islamului de Aur, născut în Harran (Turcia de astăzi), provenind dintr-o familie membră a unei secte, aşa numită a sabienilor – de unde şi particula […]

Mari matematicieni ai lumii – 3

Thâbit ibn Qurrah (836-901)

Pe numele sau întreg Al – Sabi Thabit ibn Qurra al- Harrani a fost un celebru învăţat al vremurilor Islamului de Aur, născut în Harran (Turcia de astăzi), provenind dintr-o familie membră a unei secte, aşa numită a sabienilor – de unde şi particula Al – Sabi din numele său, membrii acesteia fiind „închinători” la stele. Aceasta şi explică de ce membrii acestei secte care adorau stelele aveau motivaţia studierii acestora precum şi a fenomenelor astronomice. În plus erau buni vorbitori de limbă greacă. Thabit provenea dintr-o familie de vază şi în acelaşi timp bogată a comunităţii şi a primit o educaţie aleasă. Un Mecena al timpului, Muhhamad ibn Musa ibn Shakir, vizitând Harranul a aflat despre uluitoarele cunoştinţe de limbă greacă ale tânărului Thâbit, şi remarcând-u-i şi abilităţile de raţionament l-a invitat la Bagdad pentru a studia matematica. Aici el a dobândit vaste cunoştinţe de matematică dar şi de medicină (mai toţi înţelepţii acelei vremi erau medici deosebiţi) şi astronomie.

Aşa de exemplu a studiat aritmetica lui Nicomacus, geometria lui Euclid, şi cea a lui Menelaus, dar a rămas celebru în special pentru traducerea operei lui Ptolemeu „Almageste”

Matematica şi-a însuşit-o citind lucrările în limba greacă ale lui Arhimede, Euclid, Appolonius, Ptolemeu, Pitagora. Fără contribuţia arabă aceste opere fundamentale ale ştiinţei s-ar fi pierdut deoarece nu s-au păstrat lucrările originale ci doar traducerile în arabă ale acestora. Deosebit este faptul că lucrările fiind traduse de specialişti nu sunt simple reproduceri ale textelor originale ci sunt adnotate, explicate, exemplificate. Mai mult, el are contribuţii personale extrem de importante. Şi fiul şi nepotul său au fost buni cunoscători ai matematicii însă nu au ajuns la valoarea sa.

Thâbit Ben Q’ra s-a ocupat de studiul conicelor lui Appolonius, sfera lui Eutocius, precum şi alte numeroase lucrări greceşti de astronomie şi geometrie.

Ca astronom el a observat şi studiat un număr de 1022 de stele pentru care a stabilit coordonatele eliptice şi pe care le-a clasificat după magnitudine, constelaţii, etc.

O preocupare meritorie a lui Thâbit a constituit-o studiul numerelor, mai ales a numerelor perfecte şi a numerelor prietene. Numerele perfecte sunt numere egale cu suma divizorilor lor proprii, iar numerele prietene sunt perechi de numere cu proprietatea că unul este egal cu suma divizorilor celuilalt. El a enunţat următoarea afirmaţie: dacă a,b,csunt numere prime de forma

atunci numerele

sunt numere prietene.

Aşa este cazul numerelor 220 şi 284. Mulţimea divizorilor lui 220 este

(excludem numărul însuşi) iar cea a lui 284 este

Avem că:

Se vede însă că aceste condiţii sunt suficiente dar nu şi necesare. Aşa de exemplu numerele 1184 şi 1210, sunt numere prietene căci:

dar nu se respectă cerinţa formei numerelor.

Iată şi alte perechi de numere prietene:

Numerele de forma

se numesc „numere Thâbit”.

Calculatoarele din zilele noastre au enumerat o sumedenie de astfel de numere obţinute pentru

Pentru valorile lui n din această mulţime numerele a scrise în baza 2, au o formă particulară deosebită verificată pentru enorm de multe numere.

O altă procupare a lui Thâbit ibn Qurra, geometria plană, l-a determinat să găsească noi demonstraţii pentru teorema lui Pitagora.

Iată una dintre acestea. Se construiesc pe laturile triunghiului dreptunghic ABC, pătratele AHMC, AGEB, BCLD (de aceeaşi parte a lui BC. Notăm cu F intersecţia prelungirilor laturilor HM şi DL. Este uşor de verificat că triunghiurile următoare sunt egale:

Pe de o parte avem că

iar pe de alta

Le egalăm şi găsim

care este teorema lui Pitagora pentru triunghiul ABC.

Fin cunoscător al geometriei, Thâbit ibn Qurra a găsit o construcţie ingenioasă pentru heptagonul regulat înscris în cerc, ceea ce nu este la îndemâna oricui.

Aţi văzut insigna din pieptul vreunui şerif din filmele western. O insignă originală este un poligon regulat stelat cu şapte vârfuri. Sigur că este acum uşor de construit folosind un raportor (deşi împărţirea la 7 presupune o oarece aproximare). Idealul este să construieşti folosind doar un compas şi o riglă negradată, ceea ce Thâbit ibn Qurra a reuşit.

sursa: simina-harmonie.blogspot.com

Source Link

Mari matematicieni ai lumii – 4

Mari matematicieni ai lumii – 4 Abū al-Wafā’ Būzjānī Pe numele său complet – Abu Al Wafa Muhammad ibn Muhammad ibn Yahya ibn Isma il ibn al- Al Abbas- Buzjani, matematicianul musulman persan s-a născut în 940 la Buzjani (de aceea mai este recunoscut ca Al Buzjani) în Nishapur, dar a trăit în zona […]

Mari matematicieni ai lumii – 4

Abū al-Wafā’ Būzjānī

Pe numele său complet – Abu Al Wafa Muhammad ibn Muhammad ibn Yahya ibn Isma il ibn al- Al Abbas- Buzjani, matematicianul musulman persan s-a născut în 940 la Buzjani (de aceea mai este recunoscut ca Al Buzjani) în Nishapur, dar a trăit în zona Irak-ului de azi (pe vremea acea, in Imperiul Islamic). Este cunoscut atât ca astronom cât şi ca matematician.

El a trăit în timpul dinastiei Buyzilor care a avut o perioadă de maximă amploare în timpul domniei lui Ad – Adud Dawlah (949-983). Acesta a fost un mare patron al artelor şi ştiinţelor şi i-a sprijinit pe mulţi matematicieni printre care şi pe Abu Al-Wafa. Sharaf al Dawlah, fiul lui Adud, a devenit calif în 983. El a continuat să sprijine matematica şi astronomia iar Abu al Wafa a rămas la curtea din Bagdad şi a lucrat pentru noul calif. Sharaf a construit un nou observator astronomic în grădina palatului său din Bagdad, care a fost deschis oficial în prezenţa numeroşilor cărturari precum Al-Quhi şi Abu Al-Wafa.

Printre instrumentele observatorului erau un cadran de peste 6 metri şi un sextant de 18 metri, Abu Al-Wafa a construit primul cvadrant de perete pentru observarea şi studierea stelelor (cvadrantul este un instrument astronomic alcătuit dintr-un sfert de cerc şi o lunetă). Dar când peste un an califul a murit, succesorii săi au închis observatorul.

A scris mai multe cărţi dintre care majoritatea nu mai există: Kitab ‘Ilm al Hisab (carte de aritmetică), Kitab al Handasiyya (carte de geometrie)şi Al Kitab al Kamil (un fel de compendiu, o versiune simplificată a cărţii lui Ptolemeu, Almageste).

Prima dintre ele era o carte de aritmetică pentru cărturari şi oameni de afaceri. În introducere el scria că aceasta cart „cuprinde tot ce trebuie să ştie un novice în aritmetică”. Este interesant că el şi-a scris textele fără a folosi cifrele, toate numerele fiind scrise în cuvinte şi toate calculele erau făcute mintal, deşi el era un expert în utilizarea cifrelor indiene deja încetăţenite. dar după cum spunea, carte se adresa novicilor în ale matematicii dar necesară în mediul de afaceri şi trebuia bine înţeleasă. Lucrarea are şapte capitole: despre rapoarte (despre fracţiile ), despre înmulţire şi împărţire, despre măsurarea distanţelor, ariilor şi volumelor, despre impozitare, despre schimbul banilor, despre plata soldaţilor, despre permise de navigare şi de comerţ. Deosebit de interesant este faptul că în această carte apare pentru prima dată noţiunea de număr negativ, în legătură cu „datoriile”, şi de fapt este singurul manuscris arab în care se găsesc referiri la numerele negative.

Kitab al Handasiyya descrie construcţiile geometrice necesare pentru un meşter constructor. Cartea are 13 capitole şi descrie instrumentele folosite în construcţii, construcţia unghiului drept, trisecţia (aproximativă) a unghiului, construcţia unei parabole prin puncte (ca rezultat al rezolvării ecuaţiilor de forma

construcţia unor poligoane regulate (chiar dificila construcţie a heptagonului), poligoane regulate înscrise şi circumscrise, poligoane înscrise în alte poligoane, triunghiuri sferice. El a avut ca preocupare esenţială construcţiile geometrice cu ajutorul riglei negradate şi a compasului. Când acest lucru nu era posibil găsea metode de aproximare foarte bune.

Pentru calculele din astronomie a avut nevoie de valori cât mai exacte ale funcţiilor trigonometrice. Astfel el a alcătuit tabele de valori din 15’ în 15’, şi mai mult aceste valori aveau câte opt zecimale exacte faţă de trei câte a dat Ptolemeu.

Pentru a determina aceste valori a avut nevoie de relaţii între diferite funcţii trigonometrice. Astfel el a stabilit şi câteva formule trigonometrice deosebit de importante:

a folosit formulele pentru

Totodată el a stabilit definiţiile funcţiilor trigonometrice ca segmente a căror variaţie dădea şi variaţia funcţiilor.

Dacă M este un punct variabil pe cercul trigonometric atunci

iar

şi

A stabilit şi o relaţie deosebit de interesantă pe triunghiul sferic:

(triunghiul sferic este triunghiul de pe sferă format de intersecţia arcelor cu vârfurile în a, B şi C.

Abu al Wafa a dat o construcţie interesantă a unui triunghi echilateral ale cărui vârfuri se află pe laturile unui pătrat.Se construiesc arcele de cerc cu centrele în A şi respectiv C şi de raze AC şi respectiv CA. Acestea se taie în E şi F. Mijloacele segmentelor CF şi CEsunt M şi respectiv N în care se ridică perpendiculare pe CF şi CE, care taie laturile pătratului în M₁ şi N₁. Atunci triunghiul AM₁N₁ este echilateral (Construcţia nu este unică).

O altă construcţie care-i poartă numele, creată în aceleaşi scopuri practice, se referă la construcţia unui triunghi echilateral înscris în acelaşi cerc în care există un pătrat.

fig. 14. Al Wafa - triunghiul lui Abu al wafa

Evident se poate imediat construi şi hexagonul regulat. Şi anume, în cercul de centru O şi rază dată a se duc două diametre perpendiculare care vor determina vârfurile pătratului înscris ANQR. Cu centrul în Q şi aceeaşi rază se trasează al doilea cerc ce îl va intersecta pe primul în punctele B şi C. ABC va fi triunghiul echilateral căutat. Pentru demonstraţii este suficient să se observe că BQCO este un romb (laturi egale şi diametre perpendiculare) Deci

adică tot atât cât apotema triunghiului echilateral înscris.

Construcţiile geometrice ale lui Abu al-Wafa au avut un scop precis: ele foloseau în construcţii şi pentru crearea arabescurilor. În Mesquitta del Divendres din Isfaham un motiv atrage atenţia în mai multe locuri de pe faţada sa sau de la boţile porţilor. Ea este inspirată de celebra demonstraţie a teoremei lui Pitagora datorată lui Abu al-Wafa dată în Kitab al Handasiyya.

În semn de omagiu pentru contribuţia sa la dezvoltarea matematicii un crater de pe Lună îi poartă numele iar formula dezvoltării în serie a funcţiei secantă se numeşte formula lui Al-Wafa

sursa: simina-harmonie.blogspot.ro

Source Link