radacina patrata - Romania, the meaningless part. Simple possibilities: It is possible that employees of DRPCIV (Car Permits and Registrations, Romania), together with employees of the Romanian Car Registry, have knowingly registered a large number of stolen vehicles. It is possible that the vehicles in point 1 have had their color changed before being sold.

Mari matematicieni ai lumii

Muhammad ibn Musa Al- Khwarizmi (780 – 850) Muhammad ibn Musa Al- Khwarizmi, sau simplu, Al Khwarizmi, este fără îndoială primul mare matematician arab şi în acelaşi timp şi cel mai cunoscut şi îşi merită cu prisosinţă celebritatea ca „părinte al algebrei”. După nume s-ar părea că el sau strămoşii săi ar fi originari din […]

Muhammad ibn Musa Al- Khwarizmi (780 – 850)

Muhammad ibn Musa Al- Khwarizmi, sau simplu, Al Khwarizmi, este fără îndoială primul mare matematician arab şi în acelaşi timp şi cel mai cunoscut şi îşi merită cu prisosinţă celebritatea ca „părinte al algebrei”. După nume s-ar părea că el sau strămoşii săi ar fi originari din Khwarizm, undeva în sudul mării Aral. În acea regiune la Khiva, Uzbekistan se află o statuie modernă a lui Al – Khwarizmi, lucru în esenţă deosebit, ştiut fiind că în conformitate cu normele Coranului niciunde nu pot apărea picturi sau statui înfăţişând animale sau chipuri de oameni.

A trăit în Bagdad în timpul înfloritoarei dinastii abbaside, şi anume chiar în timpul marelui Harun al Rashid şi al fiului acestuia, Al Mamun. Cum aceştia stăpâneau ţinuturile de la marea Mediterană până în India, Casa înţelepciunii fondată de Al Mamun concentra înţelepţi din toată această lume, biblioteca imensă adunase mii de lucrări pe care le traduceau în şi din arabă, la Observatorul astronomic lucrau savanţi din tot orientul.

Al Khwarizmi a scris aici celebrele sale lucrări, exlusiv în arabă, două dintre ele fiind dedicate suveranului Al Mamun (cea de algebră şi cea de astronomie)

Al Khwarizmi este cel care a introdus în studiile sale o mare parte din cunoştinţele matematice ale Indiei (a studiat lucrările lui Brahmagupta). A fost totodată un bun cunoscător al lucrărilor lui Ptolemeu, în epocă studiindu-seAlmagest, lucrarea de căpătâi a acestuia.

El a scris un tratat, care nu s-a păstrat, dar care este cunoscut prin traducerea sa în latină, în care expune sistemul zecimal indian, metodele de calcul în acest sistem (adunarea, scăderea, înmulţirea), fracţiile, rădăcina pătrată. Pe de o parte el a dat arabilor cunoştinţele indiene, dar se poate spune că a dat occidentalilor cunoştinţele arabe, prin intermediul traducerilor în latină. Acestea nu au apărut decât în secolul al XIII-lea sub titlul semnificativ Dixit Algorezmi (Al Khwarizmi a spus că…) sau în altă traducere De numero indorum, sau Liber Alchoresmi. Acest nou sistem de calcul a fost desemnat de europeni cu numele de algoritm, în onoarea autorului.

A avut preocupări în domeniul opticii şi a scris despre natura luminii. A coordonat şi scrierea unei cărţi de geografie, Kitab –Surat Al- Ard, şi se spune că pentru aceasta a avut în subordinea sa 70 de geografi. Cartea conţine coordonatele a 2402 oraşe. Astăzi se mai păstrează un singur exemplar în arabă la Biblioteca Universităţii din Strasbourg şi unul în latină la Biblioteca Naţională din Madrid.

Al Khwarizmi este celebru şi printr-un tratat asupra ecuaţiei de gradul al II-lea. Acestea erau cunoscute de babilonieni, iar metode de rezolvare a unor cazuri particulare erau date de Euclid, dar Al Khwarizmi a elaborat primul, o clasificare a ecuaţiilor de gradul al II-lea, dovedind o viziune globală asupra problemei. El nu utilizează nici o notaţie literală, folosind pentru necunoscută termenul rădăcină. Rezolvarea se face nu prin calcul algebric, ci prin construcţii geometrice, în stil euclidian. Lucrarea, considerată pe drept cuvânt, cea mai bună carte de algebră a timpului, se intitulează Kitâb al-jabr wa al-muqâbalah şi a fost tradusă în latină sub titlul Algebra. Astfel este justificată originea unuia dintre cele mai importante cuvinte din matematică.

Succesorii săi arabi au studiat de asemenea ecuaţia de gradul al II-lea, ba chiar şi de grad mai mare (vezi Omar Khayyam) fără însă a le generaliza. Abia în timpul renaşterii, Cardan a dat soluţiile ecuaţiei algebrice de gradul al III-lea.

Pentru a-şi susţine calculele Al Khwarizmi a justificat mai întâi câteva formule, care astăzi sunt elementare, dar care în acele vremuri erau chiar şi pentru iniţiaţi adevărate pietre de încercare. El a dat demonstraţiile geometrice ale acestor formule, aşa cum era încetăţenit de la Euclid.

Astfel el a demonstrat că:

Desenele sunt sugestive.

Al Khwarizmi a enunţat regulile algebrice ale rezolvării ecuaţiei de gradul al II-lea având una dintre formele:

adică pătratul rădăcinii este egal cu un număr, pătratul rădăcinii este un multiplu al său, pătratul rădăcinii adunat cu un multiplu al său dau un altnumăr, pătratul rădăcinii este egal cu un multiplu al său plus un număr, şi pătratul rădăcinii adunat cu un număr dau un multiplu al său.

Încă sub influenţa matematicii antice greceşti, arabii nu utilizau numere negative, ceea ce explică diferitele cazuri studiate. Pentru o scădere (adică un termen negativ) Al Khwarizmi a stabilit regulile trecerii termenilor dintr-un membru în altul al ecuaţiei. Nici nu se punea problema unei soluţii negative.

Rezolvarea dată de el semăna cu ceea ce astăzi numim trecerea polinomului de gradul al II-lea la forma canonică:

Evident nu se foloseau fracţiile! Însă totul era explicat mai pe larg cu ajutorul figurilor geometrice. Pătratul mare de latură x+2a/4 este format din patru pătrate de latură a/4, patru dreptunghiuri de laturi x şi a/4 şi un pătrat de latură x.

Aşa de exemplu ecuaţia

se scrie:

Încă odată spunem că nu se punea problema soluţiilor negative.

În acelaşi mod Al Khwarizmi a rezolvat ecuaţiile

Iată cum a făcut rezolvarea ecuaţiei

Se construieşte un pătrat cu latura x, apoi se adaugă acestuia pe laturi în exterior patru dreptunghiuri de laturi x şi respectiv 5/2 şi la final patru pătrate de latură 5/2. În final avem un pătrat cu latura 8, sau,

Mai mult, Al Khwarizmi s-a ocupat de construcţii geometrice, aşa cum rezultă din următoarea problemă: se dă un triunghi cu laturile 10,10,20 şi în interiorul său se înscrie un pătrat astfel încât două din vârfuri să fie pe o bază iar celelalte două pe câte una din celelalte două laturi. Cât este latura pătratului?.

Este uşor de sesizat că triunghiul BED este asemenea cu triunghiul BAM.

Aşa cum se obişnuia în acel timp, din textul paginii de manuscris se vede că explicaţia este dată în cuvinte, nu în relaţii matematice. Aceasta este chiar o dovadă a faptului că Elementele lui Euclid îi erau cunoscute.

Chiar dacă nu are „spiritul” euclidian (nu dă nici o definiţie, nici o axiomă, nici vreo demonstraţie de genul euclidian), originalitatea concepţiei şi profunzimea remarcabilă de care dă dovadă îl fac să bine-merite numele de „părintele algebrei”.

sursa: simina-harmonie.blogspot.com

Source Link

Mari matematicieni ai lumii – 1

AL KARAJI (953-1029) Numele său întreg este Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husazn Al- Karaji dar nu se poate presupune cu exactitate că familia lui provine din oraşul Karaj, din Iran – aşa cum ar indica numele, sau din Karkh, o suburbie a Bagdadului, mai ales că era cunoscut şi ca Al Kahri. Oricum, cea mai […]

AL KARAJI (953-1029)

Numele său întreg este Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husazn Al- Karaji dar nu se poate presupune cu exactitate că familia lui provine din oraşul Karaj, din Iran – aşa cum ar indica numele, sau din Karkh, o suburbie a Bagdadului, mai ales că era cunoscut şi ca Al Kahri. Oricum, cea mai mare parte a vieţii a trăit în Bagdad, unde a şi scris cea mai importantă lucrare a sa Al-Fakri, dedicată vizirului Fakr-Mulk. Şi-a făcut un scop din a culege şi de a restructura opera înaintaşilor, aşa cum era preocuparea de bază a savanţilor timpului, dar a adus şi contribuţii importante în matematică. A eliberat algebra de operaţiunile geometrice, folosind operaţiile algebrice care stau la baza algebrei de astăzi.

Astfel, el a fost primul care a definit monoamele

şi a dat regula produsului

Fără a specifica numerele negative, şi fără a folosi că

a spus că relaţia era valabilă şi a dat o regulă de găsire a rădăcinii pătrate a multor numere.

Cea mai importantă contribuţie o are însă, prin lucrarea Al kafi fi’l al- Hisab în deducerea coeficienţilor binomial şi la stabilirea relaţiilor între aceştia. Orice număr de pe o coloană este egal cu suma celor doi alăturaţi de pe coloana precedentă (aşa cum cunoaştem din actualul „triunghi al lui Pascal”).

Mai mult, el a stabilit, în limbajul de astăzi, că suma primelor numere naturale este

a calculat suma pătratelor primelor numere naturale ca fiind

precum şi suma cuburilor

Pornind de la observaţia că

care mai este şi

de fapt el a stabilit forma incipientă a principiului inducţiei matematice.

Formula din figura următoare reprezintă această formulă (atenţie: se citeşte de la dreapta spre stânga, precum în orice text arab), şi sunt folosite cifrele arabe[1].

Mai mult, Al Karaji foloseşte construcţii geometrice pentru a demonstra formulele sumelor. Aşa de exemplu pentru a demonstra că:

el exemplică prin exprimarea lui

astfel:

Suma ariilor pătratelor de laturi 1, 2, 3 şi 4 este egală cu aria pătratului mare din figură este mai puţin de câte două ori ariile dreptunghiurilor de laturi 1şi respectiv 2, 3 şi 4, apoi cele cu laturile 2 şi respectiv 3, şi 4 şi cele cu laturile 3 şi 4.

A fost influenţat de lucrările lui Diofant (sec III î.Hr.) recunoscând că mai toate problemele din cartea acestuia se găsesc în cartea sa, Al Badi fi’l-hisab, dar a inclus şi multe probleme originale. De altfel Al-Karaji era supranumit „calculatorul” pentru uşurinţa cu care opera cu multe operaţii şi numere mari.

Se pare că în partea a doua a vieţii sale, Al Karaji a părăsit Bagdadul şi s-a retras în „ţara munţilor” – regiunea muntoasă a ţării, unde s-a dedicat ingineriei. Este celebru prin teoriile despre forări, aprovizionare cu apă a localităţilor, metode de irigaţie.

Popularea rapidă a oraşelor Bagdad, Cairo, Cordoba, Féz, tocmai făcuse necesară găsirea surselor de apă, rafinarea tehnicii de irigare şi optimizarea utilizării apei.

Fiind o problemă incitantă pentru spiritul său inventiv, şi susţinut de şeicul Abu Ghanin Ma’ruf Muhammad, s-a preocupat de această problemă. A scris Inbat-miyah al Khafiya (în traducere – Carte de extracţie a apelor ascunse) în care a descris instrumentele de topografie, metode de construcţie a conductelor, a dat metode de întreţinere şi evitare a colmatării acestora. În afară de faptul că a avut o contribuţie originală în hidrologie, topografie şi studiul apelor subterane, este de remarcat faptul că lucrări construite după indicaţiile sale, în acea perioadă, au rezistat secolelor. În imagine, vestigii ale unei instalaţii de pe râul Guadalquivir, din Cordoba.

fig 17. Cordoba_Guadalquivir_Noria_Wikimedia_Commons

Arabii au devenit faimoşi construcţiilor de acest gen. În Arabia Saudită există şi acum un bazin de apă construit sub patronajul sultanei Zubaidah (soţia lui Harun al Rashid) dedicat musulmanilor care mergeau în pelerinaj la Mecca.

Problemele de aritmetică de genul „intr-un bazin curg trei râuri. Dacă numai primul l-ar umple într-o zi, numai al doilea în două şi numai al treilea în trei, în câte zile l-ar umple curgând toate odată?” au fost pentru prima dată enunţat de Al Karaji.

( bazinul s-ar umple în 12 ore).

Singura deosebire în problemele de clasa a V-a este că nu este vorba despre râuri ci despre robinete.

[1] (Simina Ştefănescu, Numerele şi începuturile matematicii, ed. Psyhelp, Bacău, 2004)

sursa: simina-harmonie.blogspot.ro

Source Link

Mari matematicieni ai lumii – 3

Mari matematicieni ai lumii – 3 Thâbit ibn Qurrah (836-901) Pe numele sau întreg Al – Sabi Thabit ibn Qurra al- Harrani a fost un celebru învăţat al vremurilor Islamului de Aur, născut în Harran (Turcia de astăzi), provenind dintr-o familie membră a unei secte, aşa numită a sabienilor – de unde şi particula […]

Mari matematicieni ai lumii – 3

Thâbit ibn Qurrah (836-901)

Pe numele sau întreg Al – Sabi Thabit ibn Qurra al- Harrani a fost un celebru învăţat al vremurilor Islamului de Aur, născut în Harran (Turcia de astăzi), provenind dintr-o familie membră a unei secte, aşa numită a sabienilor – de unde şi particula Al – Sabi din numele său, membrii acesteia fiind „închinători” la stele. Aceasta şi explică de ce membrii acestei secte care adorau stelele aveau motivaţia studierii acestora precum şi a fenomenelor astronomice. În plus erau buni vorbitori de limbă greacă. Thabit provenea dintr-o familie de vază şi în acelaşi timp bogată a comunităţii şi a primit o educaţie aleasă. Un Mecena al timpului, Muhhamad ibn Musa ibn Shakir, vizitând Harranul a aflat despre uluitoarele cunoştinţe de limbă greacă ale tânărului Thâbit, şi remarcând-u-i şi abilităţile de raţionament l-a invitat la Bagdad pentru a studia matematica. Aici el a dobândit vaste cunoştinţe de matematică dar şi de medicină (mai toţi înţelepţii acelei vremi erau medici deosebiţi) şi astronomie.

Aşa de exemplu a studiat aritmetica lui Nicomacus, geometria lui Euclid, şi cea a lui Menelaus, dar a rămas celebru în special pentru traducerea operei lui Ptolemeu „Almageste”

Matematica şi-a însuşit-o citind lucrările în limba greacă ale lui Arhimede, Euclid, Appolonius, Ptolemeu, Pitagora. Fără contribuţia arabă aceste opere fundamentale ale ştiinţei s-ar fi pierdut deoarece nu s-au păstrat lucrările originale ci doar traducerile în arabă ale acestora. Deosebit este faptul că lucrările fiind traduse de specialişti nu sunt simple reproduceri ale textelor originale ci sunt adnotate, explicate, exemplificate. Mai mult, el are contribuţii personale extrem de importante. Şi fiul şi nepotul său au fost buni cunoscători ai matematicii însă nu au ajuns la valoarea sa.

Thâbit Ben Q’ra s-a ocupat de studiul conicelor lui Appolonius, sfera lui Eutocius, precum şi alte numeroase lucrări greceşti de astronomie şi geometrie.

Ca astronom el a observat şi studiat un număr de 1022 de stele pentru care a stabilit coordonatele eliptice şi pe care le-a clasificat după magnitudine, constelaţii, etc.

O preocupare meritorie a lui Thâbit a constituit-o studiul numerelor, mai ales a numerelor perfecte şi a numerelor prietene. Numerele perfecte sunt numere egale cu suma divizorilor lor proprii, iar numerele prietene sunt perechi de numere cu proprietatea că unul este egal cu suma divizorilor celuilalt. El a enunţat următoarea afirmaţie: dacă a,b,csunt numere prime de forma

atunci numerele

sunt numere prietene.

Aşa este cazul numerelor 220 şi 284. Mulţimea divizorilor lui 220 este

(excludem numărul însuşi) iar cea a lui 284 este

Avem că:

Se vede însă că aceste condiţii sunt suficiente dar nu şi necesare. Aşa de exemplu numerele 1184 şi 1210, sunt numere prietene căci:

dar nu se respectă cerinţa formei numerelor.

Iată şi alte perechi de numere prietene:

Numerele de forma

se numesc „numere Thâbit”.

Calculatoarele din zilele noastre au enumerat o sumedenie de astfel de numere obţinute pentru

Pentru valorile lui n din această mulţime numerele a scrise în baza 2, au o formă particulară deosebită verificată pentru enorm de multe numere.

O altă procupare a lui Thâbit ibn Qurra, geometria plană, l-a determinat să găsească noi demonstraţii pentru teorema lui Pitagora.

Iată una dintre acestea. Se construiesc pe laturile triunghiului dreptunghic ABC, pătratele AHMC, AGEB, BCLD (de aceeaşi parte a lui BC. Notăm cu F intersecţia prelungirilor laturilor HM şi DL. Este uşor de verificat că triunghiurile următoare sunt egale:

Pe de o parte avem că

iar pe de alta

Le egalăm şi găsim

care este teorema lui Pitagora pentru triunghiul ABC.

Fin cunoscător al geometriei, Thâbit ibn Qurra a găsit o construcţie ingenioasă pentru heptagonul regulat înscris în cerc, ceea ce nu este la îndemâna oricui.

Aţi văzut insigna din pieptul vreunui şerif din filmele western. O insignă originală este un poligon regulat stelat cu şapte vârfuri. Sigur că este acum uşor de construit folosind un raportor (deşi împărţirea la 7 presupune o oarece aproximare). Idealul este să construieşti folosind doar un compas şi o riglă negradată, ceea ce Thâbit ibn Qurra a reuşit.

sursa: simina-harmonie.blogspot.com

Source Link